Wortelvergelijkingen: Kwadrateren en Schijnoplossingen|3 vwo

Los de volgende wortelvergelijking op. Doorloop alle tussenstappen en vergeet niet om aan het eind te controleren of je oplossingen voldoen aan de oorspronkelijke vergelijking.

$\sqrt{2x+7}=x+2$

Stel je hebt de vergelijking $\sqrt{x}=-3$. Deze vergelijking heeft geen reële oplossing, omdat de uitkomst van een wortel altijd positief of nul is. Als je beide kanten van de vergelijking kwadrateert, krijg je $x=(-3{)}^2$, wat leidt tot $x=9$. Als je echter de vergelijking $x^2=9$ oplost, vind je zowel $x=3$ als $x=-3$. Leg uit waarom de oplossing $x=3$ bij deze tweede vergelijking wel tevoorschijn komt, terwijl dit geen oplossing was van de oorspronkelijke vergelijking. Gebruik in je uitleg de term 'schijnoplossing'.

Los de volgende wortelvergelijking op: $\sqrt{x+5}=x-1$. Let op: bij het kwadrateren van beide zijden kunnen schijnoplossingen ontstaan. Controleer daarom altijd of je gevonden waarden voor $x$ voldoen in de oorspronkelijke vergelijking.

Los de volgende wortelvergelijking op. Controleer aan het einde of je gevonden oplossing(en) voldoen aan de vergelijking: $2\cdot \sqrt{x-1}=x-4$ Schrijf je tussenstappen hieronder op.

Beschouw de vergelijking $\sqrt{x}=x-6$.

Wanneer je beide kanten kwadrateert om de wortel te verwijderen, ontstaat er een kwadratische vergelijking met twee mogelijke oplossingen: $x=4$ en $x=9$.

Laat door middel van een berekening zien dat $x=4$ een schijnoplossing (valse oplossing) is. Vul hiervoor $x=4$ in bij zowel de 'gekwadrateerde' vorm als de oorspronkelijke vergelijking en leg uit wat het verschil in resultaat betekent voor de geldigheid van de oplossing.

Beschouw de functies $g(x)=\sqrt{f(x)}$ en $h(x)=f(x)$. Waarom kan de grafiek van $g(x)$ nooit onder de x-as komen, terwijl de grafiek van $h(x)$ dit in veel gevallen wel kan? Leg dit uit door te kijken naar de definitie van de worteltrekking en wat dit betekent voor de functiewaarden.